ימי הביניים באירופה מכונים בפי ההיסטוריונים "הזמנים האפלים". בתקופה זו שקעו התרבות והקִדמה. מוסדות שונים, ובהם הכנסייה הנוצרית, רדפו את מי שהחלו להעלות רעיונות מדעיים פורצי דרך, והשיטה הפֵאוֹדָלִית (שעליה תקראו במדור "הכר את החקלאי") גרמה לכך שמרבית האירופים היו עניים וחלשים. 

אז איך בכל זאת התקדם המדע בשנים אלו? במהלך מאות השנים שבהן אירופה נפלה לימי הביניים האפלים, שבהם המדע, המתמטיקה וכמעט כל העשייה האינטלקטואלית קפאו על שמריהם, היו המתמטיקאים מארצות ערב, סין והודו בעלייה. לספרי המתמטיקה שאתם פותחים כמה פעמים בשבוע יש היסטוריה ענפה ומסקרנת, כזו שהתחילה בחישובים בעזרת מוטות וחרוזים והגיעה עד למשוואות המסובכות שהביאו לעידן הקדמה והטכנולוגיה שאנו חיים בו היום. איך כל זה קרה? ארזו מזוודה עם מד־זווית, עיפרון וסרגל, כי אנחנו יוצאים לדרך!

מתמטיקאי סיני אמר פעם

התחנה הראשונה בטיול המתמטי שלנו היא סין. במהלך ההיסטוריה השליטים הסינים לא חיבבו את העובדה שהאוכלוסייה המקומית מתערבבת עם אוכלוסיות זרות וניסו לבודד אותה, כך נוצרה התפתחות מדעית ייחודית באזור. המתמטיקה הסינית המוקדמת התפתחה באופן עצמאי לחלוטין בהשוואה לאזורים אחרים בעולם, היא הייתה בעיקרה מתמטיקה מעשית והתבססה רבות על בעיות מתמטיות מסוימות ופתרונן (הסינים נעזרו בכך על מנת לקבוע את לוח השנה, למשל, או לחשב מיסים), ולא על נוסחאות כלליות. 

דמיינו שאין לכם את המספרים שאנחנו מכירים היום. נשמע מוזר, נכון? אבל במזרח הרחוק, מתמטיקאים סינים השתמשו במקלות קטנים כדי לייצג מספרים. הם נקראו "מוטות מנייה". הסינים סידרו את מוטות הבנייה בתבניות שונות, שנראות כמו קווים אופקיים ואנכיים, כדי לחשב חיבור, חיסור ועוד. למשל, המספר 123 נכתב באמצעות הסמל של 1 ואחריו הסמל של 100, ואז הסמל של 2 ואחריו הסמל של 10, ואחריו הסמל של 3. זו הייתה מערכת המספרים המתקדמת ביותר בעולם באותה תקופה!

תפיסה מתקדמת נוספת שהתפתחה בסין היא השימוש במספרים שליליים, כמו מינוס עשר או מינוס עשרים ושלוש. לנו נראה מובן מאליו שהם קיימים, אבל למרבה ההפתעה הם לא תמיד היו חלק מהמתמטיקה. בסין, כבר מן המאה השנייה לפני הספירה מוטות אדומים סימנו מספרים חיוביים, ומוטות שחורים סימנו מספרים שליליים. מספרים אלו, שסימלו חוסר או חוב, תרמו רבות להבנה מעמיקה יותר של מושגים מתמטיים ופתחו אפשרויות חדשות בתחומי חשבון ופתרון בעיות.

המתמטיקאים של סין גם השתמשו בלוח מיוחד שנקרא "סואן פאן". הוא קצת דומה לחשבונייה, שאולי ראיתם פעם, רק הרבה יותר ישן ועם יותר חרוזים. בעזרתו הם יכלו לחשב במהירות, אפילו מספרים גדולים ממש.

השגשוג של המתמטיקה הסינית התרחש במאה ה־13, במהלך המחצית השנייה של שושלת סונג (ששלטה בסין בין השנים 1279-960 לספירה), עם התפתחות האלגברה הסינית. הטקסט החשוב ביותר מאותה תקופה הוא "המראה היקרה של ארבעת הלא ידועים" העוסק בפתרון של משוואות אלגבריות מסובכות. הסינים היו בין הראשונים שגם עשו גם שימוש בתרשים המורכב הידוע כריבוע הקסם, שהשתמשו בו כבר בעת העתיקה, ובמעגלי הקסם – שהומצאו בימי הביניים.

כוכבים עולים בשמי הודו

ארזו את המוטות והחשבונייה, כי אנחנו נוסעים אל התחנה השנייה: הודו. הרישומים המתמטיים העתיקים ביותר מהודו הם ה"שוּלְבָּה סוּטְרוֹת", הנותנים כללים פשוטים לבניית מבנים בצורות שונות, כגון ריבועים, מלבנים, מקביליות וכדומה.

בתחילת ימי הביניים בהודו פעלו המתמטיקאים המפורסמים אריאבהאטה ובראהמגופטה. שניהם גם עסקו בתחום האסטרונומיה, וחתומים על כמה פריצות דרך מתמטיות ואסטרונומיות. אריאבהאטה נחשב לאבי השיטה העשרונית, שהיא השיטה המקובלת בעולם כיום לכתיבת מספרים. כבר בגיל 23 פרסם את עבודתו הגדולה במתמטיקה, שהשפיעה רבות על המתמטיקה בהודו. בעבודתו כתב על אלגוריתם להוצאת שורש ריבועי ושלישי, משפט פיתגורס, רעיון הרדיאן, חישוב פאי ועוד – ואם כל המושגים האלה לא מובנים וקצת מפחידים, אל דאגה. אלו רק שמות לרעיונות מתמטיים שונים, ולא חייבים להבין הכול בבת אחת (ואפילו לא עד גיל 23!). באסטרונומיה הצליח אריאבהאטה לחשב את היקף כדור הארץ ואת אורך השנה – חישובים מתקדמים יחסית לתקופה זו. 

בראהמגופטה פיתח רעיונות מתמטיים כמו משוואות מסוגים שונים ומדידת נפחים בספר שנקרא (קחו נשימה עמוקה…) בּרָאהמַספּהוּטַסידהָאנטַה – ובו אין אף סימן מתמטי, כי כל הרעיונות הוסברו במילים! חידושו הגדול של המתמטיקאי ההודי היה כששפך אור על השימוש במושג "אפס". הוא ניסח את כללי הפעולות עם המספר וכתב כי הוא יכול להיות מספר בפני עצמו, ולא רק לציין מקום חסר בין מספרים אחרים. ברוב זמנו עבד כאסטרונום הראשי של מצפה כוכבים בהודו, ובעזרת המתמטיקה הצליח לחשב את מיקום השמש והירח ואת זמני ליקויי החמה וליקויי הירח. 

בהמשך ימי הביניים בהודו המתמטיקה התפתחה לאיטה, ואף מתמטיקאי לא הצליח לשחזר את ההישגים המדהימים של אריאבהטה ושל בראהמגופטה.

עלייתה של אירופה

התחנה הבאה בטיול עלולה להפתיע אתכם מעט… ארזתם לבד את ספרי המתמטיקה? מעולה, כי אנחנו נוסעים לאירופה. אבל רגע, איך זה הגיוני? הרי התחלנו את הטיול בכך שאירופה הייתה שקועה בתקופה אפלה! 

זה נכון, המדע והמחקר באירופה לא שגשגו בימי הביניים. עם זאת, במאה ה־12 אירופה, ובמיוחד איטליה, החלה לסחור עם המזרח, והידע החל להתפשט בהדרגה למערב. במאה ה־12 תרגמו ללטינית את ספרו החשוב של אל־ח'ואריזמי על אלגברה וספרים נוספים של מתמטיקאים אחרים. ההתרחבות הגדולה של המסחר יצרה צורך מעשי גובר במתמטיקה, והחשבון נכנס לחייהם של פשוטי העם ולא הוגבל רק לתחום האקדמי.

המתמטיקאי הגדול הראשון של ימי הביניים באירופה היה לאונרדו מפיזה, הידוע יותר בכינויו פיבונאצ'י. במידת מה פיבונאצ'י אחראי על הפצת הידע המתמטי בעולם המערבי. בצעירותו פיבונאצ'י למד חשבון אצל מורים ערבים ונחשפה בפניו שיטת הספרוֹת העשרונית שכללה את הספרה 0. בהמשך יצא למסעות מסביב לעולם, שם המשיך ללמוד את יסודות המתמטיקה.

בשנת 1202 פרסם את ספרו "החשבונייה", ובו הציג לאירופה רעיונות מתמטיים חדשניים מהמזרח. הבולט שבהם היה שיטת ייצוג המספרים ההינדו־ערבית (שמכונה גם השיטה העשרונית), והוא הציע להשתמש בה במקום השיטה האירופית המסורבלת שחישבה בעזרת ספרות רומיות. 

הודות לאותם מתמטיקאים מימי הביניים מכל רחבי העולם, היום המתמטיקה היא תחום עצום ומגוון, עם השפעה אדירה על כל תחומי החיים. בפעם הבאה שאתם נכנסים לשיעור מתמטיקה, זכרו שהמתמטיקה נמצאת מסביבנו: אנו משתמשים בה כדי לפתח תוכנות, לבנות רובוטים ולעצב מוצרים חדשים, וגם בשביל לנהל עסקים, לנתח נתונים ולקבל החלטות כלכליות, ואפילו כדי לאבחן מחלות, לפתח תרופות ולעקוב אחר מצבם של חולים! ולחשוב שהכול התחיל בחשבוניית עץ פשוטה…

הכתבה המלאה פורסמה בגיליון אדר ב' תשפ"ד,

כתיבה: עינב לוגסי

לעוד תוכן מרתק ומסקרן לילדים הצטרפו למגזין "מדע וטבע" בלחיצה כאן